Voici une question qui n’a l’air de rien et qui ouvre un gouffre : comment mesure-t-on une durée ? On répond « avec une horloge », et l’horloge, elle, mesure quoi ? Whitehead consacre un chapitre entier à cette affaire, et sa réponse tient en une observation qu’on n’oublie plus.
Le présupposé de la périodicité est fondamental pour notre conception même de la vie. Nous ne pouvons pas imaginer un cours de la nature où, les événements avançant, nous serions incapables de dire : « ceci s’est déjà produit ». Toute la conception de l’expérience comme guide de la conduite serait absente. […] Le moyen même de mesurer le temps comme une quantité ferait défaut.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Sans récurrence, on pourrait encore ordonner les événements — dire que A vient avant B, et B avant C. Mais on ne pourrait pas dire que l’intervalle entre A et B est deux fois plus long que celui entre B et C. Une durée n’est pas une chose qu’on lit : c’est un nombre de recommencements comptés. Autant de jours, autant de mois, autant d’années « selon le type de récurrence auquel on souhaite faire appel ».
Trois mesures qu’il a fallu accorder
Et c’est là que Whitehead fait apparaître le travail que nous avons oublié. Le jour, le mois et l’année sont trois périodicités indépendantes : la rotation de la Terre, les phases de la Lune, le tour du Soleil. « Au commencement de la civilisation, ces trois modes de mesure du temps étaient réellement distincts. L’une des premières tâches de la science, chez les nations civilisées ou semi-civilisées, a été de les fondre en une mesure cohérente. »
Il insiste sur l’ampleur de la tâche, et il a raison d’insister : il ne s’agissait pas seulement de déterminer combien de jours font une année, mais d’établir d’abord que c’est le même nombre chaque année. « Nous pouvons imaginer un monde où des périodicités existent, mais dont aucune ne s’accorde avec une autre. Certaines années compteraient 200 jours, d’autres 350. » Que ce ne soit pas le cas chez nous « ne découle d’aucune loi abstraite et intuitive de la pensée : c’est un simple fait observé, garanti par l’expérience ». Et ce n’est même pas exactement vrai — « il y a des divergences dans tous les cas ».
D’où le choix, qui est bien un choix : on confie la mesure du temps aux astronomes parce que leurs récurrences sont les plus stables. Whitehead ne résiste pas à la conséquence : « si une consistance supérieure avait été constatée parmi les récurrences caractéristiques du corps humain, c’est naturellement aux médecins que nous aurions demandé le réglage de nos horloges ».
Ce qu’on lit aujourd’hui
L’exemple du train est un exercice de quatrième déguisé en problème de philosophie. Un train roule deux heures à vingt milles à l’heure — l’exemple est de 1911, gardons ses unités. Adoptons maintenant une mesure du temps grossièrement incohérente, où la première heure serait deux fois plus longue que la seconde. Le train parcourt toujours la même distance dans chacune des deux parties — mais l’une dure deux fois plus que l’autre, donc sa vitesse n’a pas été constante. « Ainsi, la question de savoir si le train a roulé uniformément ou non dépend entièrement de l’étalon de temps que nous adoptons. » Faites la figure au tableau : c’est de la proportionnalité, et c’est en même temps la découverte qu’une grandeur physique n’a de sens que relativement à un instrument.
Et une précision d’honnêteté sur la suite. Whitehead écrit en 1911, avant que la relativité générale et les horloges atomiques ne redistribuent entièrement les cartes : sa seconde de référence est encore astronomique, la nôtre est définie par une transition de l’atome de césium. Le renversement lui donne pourtant raison sur le fond — on a changé de récurrence, pas de méthode. Mesurer une durée, c’est toujours compter des recommencements ; on a simplement choisi le plus régulier qu’on sache observer.
La pierre qu’on fait basculer
La seconde moitié du chapitre passe à la résonance, et elle contient la meilleure explication que je connaisse — sans une seule formule.
Qui veut renverser une pierre branlante pousse en mesure avec ses oscillations, de façon à saisir toujours le moment favorable. Si les poussées sont à contretemps, certaines augmentent les oscillations mais d’autres les freinent. Lorsqu’elles sont en mesure, au bout d’un moment toutes les poussées sont favorables.
Et il déroule la liste de ce que ce seul phénomène explique : l’absorption et l’émission de la lumière, l’accord des récepteurs de télégraphie sans fil, l’influence relative des planètes les unes sur les autres, le danger que court un pont suspendu quand des troupes le franchissent au pas, et la vibration excessive de certains navires à certaines vitesses. Une classe de troisième qui connaît l’histoire du pont et des soldats ne sait généralement pas qu’elle relève du même chapitre que la radio.
Dernier retournement, et il est vertigineux : ce que nous prenons pour du continu ne l’est pas. « Nous travaillons des heures dans une lumière constante, ou nous écoutons un son constant et invariable. Mais, si la science moderne est exacte, cette constance n’a aucune contrepartie dans la nature. » Il n’y a que des vagues. D’où la conclusion, qui est l’acte de naissance de tout un pan du programme : « l’un des premiers pas nécessaires pour faire des mathématiques un instrument propre à l’investigation de la Nature est qu’elles soient capables d’exprimer la périodicité essentielle des choses ».
Ce que ça change, concrètement
Une phrase au début du chapitre sur les durées. Les conversions heures-minutes-secondes des questions flash sur les durées sont de la mécanique pure, et elles le resteront. Mais elles changent de statut si l’on a dit une fois pourquoi notre calendrier est si mal ajusté : le jour, le mois et l’année sont trois horloges naturelles indépendantes, qui ne tombent pas juste les unes dans les autres, et qu’il a fallu des siècles pour accorder tant bien que mal. Ce n’est pas une décoration historique, c’est la réponse à « pourquoi une année ne fait-elle pas un nombre entier de jours ».
Et la vraie réponse à « à quoi sert la trigonométrie ». Ce n’est pas de calculer le troisième côté d’un triangle rectangle — ça, c’est l’exercice. C’est d’avoir enfin des fonctions qui reviennent, pour écrire ce qui recommence : le jour, la marée, le son, l’onde. La leçon de troisième ne va pas jusque-là, et c’est normal ; mais dire en deux phrases ce qu’il y a derrière la porte coûte peu et change ce que l’élève croit être en train d’apprendre.
À vous
- avez-vous déjà expliqué à une classe pourquoi les durées ne sont pas décimales ? La réponse est dans ce chapitre, et elle est plus belle que « c’est comme ça ».
- l’exemple du train : mesure du temps et vitesse constante se définissent l’une par l’autre. À quel niveau peut-on poser ça sans perdre tout le monde ?
- et la question que je me pose depuis que j’ai lu ce chapitre : combien de nos grandeurs sont, comme le temps, mesurées par un comptage de recommencements qu’on a fini par oublier ?
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Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont le sinus était un segment et on mesure les angles, pas les longueurs. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre XII, « Periodicity in Nature », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library). Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).