Whitehead ouvre son chapitre sur les applications par l’exemple le plus plat qui soit. Une maison coûte un shilling le pied cube, et vingt shillings font une livre : si x est le nombre de pieds cubes et y le coût en livres, alors 20y = x. Voilà. Puis il fait remarquer que dans toute cette affaire — le propriétaire, l’architecte, les ouvriers, l’émotion de voir sa maison monter — la loi ne retient que deux nombres, « avec une complète indifférence à l’état d’esprit du propriétaire au moment de payer la facture ».
Et il enfonce le clou d’une façon qu’aucun manuel n’oserait :
Pendant que nous menons les calculs relatifs à la formule 20y = x, il nous est indifférent que la loi soit vraie ou fausse. En fait, le sens même qu’on attribue à x et y — un nombre de pieds cubes, un nombre de livres sterling — est indifférent. Nos résultats s’appliqueront tout aussi bien si nous décidons que y désigne un nombre de pêcheurs et x le nombre de poissons pris, la loi supposée étant qu’en moyenne chaque pêcheur attrape vingt poissons.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Une maison, des poissons : même tableau, mêmes calculs, mêmes conclusions. C’est la leçon de la proportionnalité en une image, et elle est plus forte que n’importe quel exercice contextualisé — parce qu’elle montre que le contexte ne fait rien à l’affaire, ce qui est précisément la raison pour laquelle on apprend la méthode une fois pour toutes.
Le calcul est certain, le résultat ne l’est pas
Mais alors la question revient par la fenêtre : et la loi, est-elle vraie ? Whitehead répond que non, d’ailleurs — « quiconque a eu affaire à la construction saura que nous avons placé le coût un peu haut ». Et il en tire la distinction qui fait tout le chapitre.
La certitude mathématique de l’investigation ne porte que sur les résultats en tant qu’ils donnent des propriétés de la corrélation 20y = x entre deux nombres variables. Il n’y a aucune certitude mathématique quant au coût réel de la construction d’une maison.
Ce qui paraît évident sur une maison l’est beaucoup moins ailleurs, et c’est exactement là qu’il frappe : « en vérité, dans des cas plus compliqués, il n’est pas d’erreur plus commune que de supposer que, parce que des calculs mathématiques longs et exacts ont été faits, l’application du résultat à un fait de la nature est absolument certaine. La conclusion d’aucun raisonnement ne peut être plus certaine que les hypothèses dont il part. »
Ce qu’on lit aujourd’hui
Cette page a beaucoup vieilli — en bien. Écrite pour prévenir contre un excès de confiance dans les formules de la physique, elle décrit à la lettre notre rapport quotidien aux modèles : projections, prévisions, scores, estimations. Le calcul est impeccable ; l’hypothèse de départ, elle, vaut ce qu’elle vaut, et le résultat n’en héritera jamais une certitude qu’elle n’a pas. Mais Whitehead n’en fait pas un argument de défiance, et c’est ce qui sauve le passage : il ajoute aussitôt que « nous n’avons aucune faculté capable d’observer avec une précision idéale ; après tout, nos lois inexactes sont peut-être assez bonnes ». Ni gober, ni rejeter : savoir de quoi la certitude est faite.
Une date à corriger au passage. Pour illustrer que l’usage peut précéder de très loin la théorie, Whitehead écrit que les Chinois exploitent la propriété de l’aiguille aimantée « depuis l’époque la plus reculée (2634 av. J.-C.) ». Cette date-là est légendaire et non historique ; ce qu’on peut établir, c’est la cuiller de magnétite qui s’oriente, décrite au Ier siècle de notre ère, et l’aiguille aimantée décrite sans ambiguïté par Shen Kuo en 1088. Détail amusant : la correction renforce son propos, puisque ces instruments ont d’abord servi à la divination et à l’orientation des bâtiments, longtemps avant la navigation — l’usage y a bien précédé la théorie, simplement pas de quarante-six siècles.
La pomme, et ce qu’elle cache
Le chapitre passe ensuite à la gravitation, et donc à l’anecdote que tout le monde connaît. Whitehead la traite en une phrase qui vaut qu’on l’apprenne par cœur : « Il se peut que la formulation finale de la loi lui soit venue dans un verger, aussi bien qu’ailleurs — et il fallait bien qu’il fût quelque part. »
Ce qui l’intéresse est l’inverse du récit de l’éclair de génie : « il est plus instructif de s’arrêter sur l’immense travail préparatoire, produit de nombreux esprits et de nombreux siècles, qui fut nécessaire avant que cette loi exacte pût être formulée ». Il faut d’abord l’habitude mathématique elle-même, sans quoi Newton n’aurait jamais pensé à une formule valable pour deux masses quelconques à une distance quelconque. Il faut ensuite que les mots aient un sens : force, masse, distance. Et Whitehead prend le plus facile des trois pour montrer qu’il ne l’est pas tant que ça — « dans un pays de montagne, on compte souvent les distances en heures ».
Suit une remarque sur nos ancêtres qui célébraient des cérémonies pour aider la nouvelle lune à naître et sacrifiaient pour sauver le soleil pendant une éclipse. La phrase qui l’accompagne mériterait d’être affichée : « Il n’y a aucune raison de croire qu’ils étaient plus stupides que nous. Mais à cette époque, l’occasion n’avait pas été donnée d’accumuler lentement des idées claires et pertinentes. » Ce n’est pas la puissance du cerveau qui a changé, c’est le stock d’idées disponibles — ce qui est aussi, soit dit en passant, tout ce qu’un professeur transmet.
Ce que ça change, concrètement
Faire tourner le même tableau sur deux mondes. L’exercice est gratuit et il tient en cinq minutes : reprendre un tableau de proportionnalité déjà traité, garder les nombres, changer entièrement le contexte — des pieds cubes deviennent des pêcheurs. Les élèves refont les mêmes calculs et obtiennent les mêmes réponses, et c’est la démonstration par les mains que la méthode ne dépend pas de l’histoire qu’on raconte autour.
Distinguer les deux questions, à voix haute. « Le calcul est-il juste ? » et « la loi est-elle vraie ? » sont deux questions différentes, et nos énoncés n’en posent presque jamais que la première. Les questions flash sur les grandeurs entraînent la première ; la seconde relève de l’éducation aux médias, où l’on apprend qu’un chiffre bien calculé sur une hypothèse douteuse reste un chiffre douteux. Ce sont les deux moitiés du même métier, et elles ne se rencontrent presque jamais dans la même heure de cours.
À vous
- vos élèves ont-ils déjà eu le droit de contester l’énoncé ? Pas le calcul : l’hypothèse.
- « il fallait bien qu’il fût quelque part » : quelles autres anecdotes de manuel mériteraient ce traitement ?
- et la question difficile : comment enseigner qu’un résultat calculé peut être faux, sans donner à une classe l’impression qu’on peut douter de tout ?
Les commentaires sont ouverts.
Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont l’inconnue n’est pas la variable et pourquoi tant de symboles ?. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre III, « Methods of Application », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library). Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).