Où commencent les mathématiques ? Whitehead donne une date de naissance, et elle n’a rien à voir avec le comptage.
Les mathématiques ont commencé comme science le jour où quelqu’un — un Grec, probablement — a démontré des propositions sur des choses quelconques ou sur certaines choses, sans spécifier de choses particulières définies.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Tout est là : quelconque et certain. Les lettres de l’algèbre ne sont pas des cases à remplir, ce sont les porteuses de ces deux mots. « Au lieu de dire que 2 + 3 = 3 + 2, en algèbre nous généralisons et nous disons que, si x et y désignent deux nombres quelconques, alors x + y = y + x. » Et il note au passage que la phrase « pour tout nombre x, il existe un nombre y tel que y > x » est, en toute rigueur, une hypothèse — « d’une importance vitale pour la philosophie comme pour les mathématiques, car c’est par elle que la notion d’infini est introduite ».
L’inconnue est un usage subalterne
Vient ensuite le passage qui devrait figurer en tête de tous nos chapitres de calcul littéral. Whitehead compare deux façons d’écrire la même chose : « pour certains nombres x, x + 2 = 3 », et la question « pour quel nombre x a-t-on x + 2 = 3 ? » — la seconde étant l’équation telle que nos élèves la rencontrent, avec son inconnue à déterminer. On croit que la seconde est la formulation sérieuse. Il tranche :
C’est là une complète erreur. L’idée de la « variable » indéterminée, telle qu’elle apparaît dans l’usage de « certain » ou de « quelconque », est la véritable idée importante en mathématiques ; celle de l’« inconnue » d’une équation, qu’il s’agit de résoudre au plus vite, n’est que d’un usage subalterne, si importante soit-elle par ailleurs. L’une des causes de la trivialité apparente d’une grande part de l’algèbre élémentaire est la préoccupation des manuels pour la résolution des équations.
Le reproche est sévère et il vise juste : le x que rencontre un élève de quatrième est presque toujours un nombre caché qu’on traque, jamais un nombre quelconque dont on énonce une propriété. Les deux existent, ils ne servent pas à la même chose, et c’est le second qui a fondé la discipline.
« Quelconque » et « certain », de plus près
Whitehead aligne trois énoncés qui se ressemblent et ne disent pas du tout la même chose :
- pour tout nombre x, x + 2 = 2 + x ;
- pour certains nombres x, x + 2 = 3 ;
- pour certains nombres x, x + 2 > 3.
Et il déplie ce que « certains » veut dire, ce qu’aucun manuel ne fait jamais. Dans le premier cas, comme c’est vrai pour tout x, c’est vrai pour certains : « quelconque » entraîne « certain », et « certain » n’exclut pas « quelconque ». Dans le deuxième, il n’y a qu’un seul nombre qui convienne. Dans le troisième, il y en a une infinité. « Ainsi, certain peut désigner n’importe quoi entre quelconque et un seul, ces deux cas limites compris. » Trois énoncés de six caractères, trois situations logiques entièrement différentes — et c’est exactement ce qui bloque un élève devant « cette égalité est-elle toujours vraie ? ».
Ce qu’on lit aujourd’hui
Le reproche a été partiellement entendu, et pas là où on croit. Nos programmes lui donnent raison sur le papier : avant l’équation viennent les expressions littérales, le test d’une égalité pour plusieurs valeurs, le programme de calcul qui « marche à tous les coups ». Tout cela, c’est du x quelconque, et Whitehead applaudirait. Mais qu’on ouvre un cahier d’exercices au hasard : la proportion de tâches où il faut trouver x reste écrasante, parce que ce sont les seules qui se corrigent en une ligne et se barèment sans discussion. Sa critique ne vise pas nos intentions, elle vise ce que le volume d’exercices enseigne réellement.
Et un piège de vocabulaire qu’il ne pouvait pas prévoir. En 1911, « variable » ne désigne que ça : un nombre quelconque dont on parle. Aujourd’hui, le même élève rencontre la même année une variable en algorithmique — une case mémoire qu’on affecte, qu’on incrémente, et dont la valeur change à chaque tour de boucle. Les deux notions portent le même nom et ne sont pas les mêmes : le x de x + y = y + x ne change pas de valeur, il n’en a aucune. Ça vaut la peine d’être dit à voix haute une fois dans l’année, plutôt que de laisser l’ambiguïté travailler toute seule. La leçon de cinquième fait précisément ce tri, section « les signes égal » : égalité, formule, équation, affectation, tableur.
Pourquoi on transforme les écritures
Vient alors la meilleure justification du calcul littéral que j’aie lue, et elle tient en une phrase. Les formules vraies pour tout couple de nombres servent à réécrire celles qui ne sont vraies que pour certains : la relation x + y = 1 équivaut à y + x = 1, à (x - y) + 2y = 1, à 6x + 6y = 6, et ainsi de suite à l’infini.
Ainsi un mathématicien habile emploie la forme équivalente de la relation qui est la plus commode pour son propos immédiat.
Voilà à quoi sert de savoir développer, factoriser, réduire : pas à obtenir la forme « juste », mais à disposer d’un vestiaire de formes et à choisir celle qui convient au travail du moment. Dit comme ça, en une phrase, avant le premier exercice, ça change le sens des trois semaines qui suivent.
Le « champ » d’une relation
Dernier cadeau du chapitre, et il est gratuit. Prenez la relation y^2 = x et n’acceptez que des entiers. Quelle que soit la valeur entière donnée à y, il existe une valeur de x qui convient : le « champ » de y n’est pas limité. Mais celui de x l’est deux fois — il doit être positif, et il doit être un carré parfait. Le champ de x est donc 1, 4, 9, 16 et ainsi de suite.
C’est une question de troisième qui ne demande aucun outil nouveau, et qui fait travailler exactement ce que Whitehead appelle la vraie idée : non pas « combien vaut x », mais « quels x sont possibles ». Les carrés parfaits, que l’élève a rencontrés comme une liste à connaître, apparaissent soudain comme la réponse à une question.
Ce que ça change, concrètement
Commencer par le quelconque, pas par l’inconnue. Les expressions littérales sont l’endroit du programme où le x de Whitehead existe encore : une expression n’a pas de solution, elle a une valeur pour chaque nombre qu’on lui donne. C’est là que se joue la différence, et elle se perd dès qu’on passe aux équations si personne ne l’a nommée.
Et la relation avant le graphique. Whitehead introduit les coordonnées uniquement pour dessiner une relation entre deux variables — son exemple suivant est la loi de Boyle, pv = 1, la pression et le volume d’un gaz. Le repérage n’est pas un chapitre de technique et les fonctions ne sont pas un formulaire : ce sont deux façons de regarder le même objet, un couple de nombres liés par une condition. Un élève qui a vu le point avant la relation a appris la mécanique sans le mobile.
À vous
- dans votre progression, combien de fois un élève rencontre-t-il un x qu’il ne doit pas chercher ? C’est la question de Whitehead, et elle se compte.
- avez-vous déjà dit à une classe que la variable de l’algorithmique et celle de l’algèbre ne sont pas la même chose ?
- et sa charge contre les manuels : trop sévère, ou bien vue ? Les exercices qui se corrigent vite ont un avantage déloyal, et nous le savons tous.
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Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont pourquoi tant de symboles ?. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre II, « Variables », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library). Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).