Voici une question qu’on peut poser en cinquième sans prévenir : y a-t-il un nombre entre \frac{2}{3} et \frac{3}{4} ? La classe cherche, et finit par trouver. Alors on recommence avec le nouveau et l’ancien. Puis encore. Whitehead donne la recette en une ligne — additionner les deux fractions et prendre la moitié du résultat — et il en tire une propriété qui porte un nom.
Entre deux fractions quelconques, nous pouvons toujours trouver une autre fraction de valeur intermédiaire. […] Par exemple, entre \frac{2}{3} et \frac{3}{4} se trouve la fraction \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3} + \frac{3}{4}\right), c’est-à-dire \frac{17}{24} ; et entre \frac{2}{3} et \frac{17}{24} se trouve \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3} + \frac{17}{24}\right), c’est-à-dire \frac{33}{48} ; et ainsi de suite indéfiniment. En raison de cette propriété, la série est dite « compacte ».
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Le mot est joli et l’idée est forte : chez les entiers, chaque nombre a un voisin immédiat à gauche et un à droite — « à l’exception du numéro 1 de la rangée ». Chez les fractions, plus personne n’a de voisin. Il n’y a plus de « nombre suivant ». C’est un changement de nature, pas de quantité, et un élève de cinquième peut le constater de ses mains en trois calculs.
Et pourtant il manque quelque chose
On croirait la droite pleine. Elle ne l’est pas. Whitehead rappelle la découverte grecque : la diagonale d’un carré n’est aucune fraction du côté, et « il n’existe aucune fraction qui représente exactement \sqrt{2} ». Puis il décrit le manque avec une précision que je n’avais jamais vue formulée ainsi.
Dans la série des nombres réels, \sqrt{2} se tient entre tous les nombres dont le carré est inférieur à 2 et tous ceux dont le carré est supérieur à 2. Mais si l’on s’en tient aux seules fractions […] aucune fraction ne partage la série en deux de cette façon. Il y a donc, dans la série des fractions, une quasi-lacune là où \sqrt{2} devrait se trouver.
Une série où l’on peut toujours s’intercaler, et qui est pourtant trouée. Les deux phrases se suivent dans le texte, et c’est leur voisinage qui est instructif : « il y a toujours de la place entre deux » ne veut pas dire « il n’y a pas de trou ». Un élève qui a compris ça a compris pourquoi on a eu besoin d’inventer d’autres nombres — et pas seulement qu’on les lui impose au chapitre suivant.
Ce qu’on lit aujourd’hui
La suite du chapitre est un petit choc, et elle date de 1911. Whitehead montre qu’on peut ranger toutes les fractions en file indienne, comme les entiers — avec un premier terme, et chacune ayant une suivante. Sa méthode est élémentaire : on classe chaque fraction d’après la somme de son numérateur et de son dénominateur (il appelle ça son indice), on prend les classes dans l’ordre des indices, et à l’intérieur d’une classe on range par numérateur croissant. Indice 2 : \frac{1}{1}. Indice 3 : \frac{1}{2}, \frac{2}{1}. Indice 4 : \frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{3}{1}. Et ainsi de suite, en biffant au passage celles qu’on a déjà vues sous une autre écriture. Toutes les fractions y passent, aucune n’est oubliée. Puis la phrase qui referme le piège : « on peut démontrer qu’il n’est pas possible de ranger ainsi la série entière des nombres réels ». Et il donne sa source, au présent : « ce fait curieux a été découvert par Georg Cantor, un mathématicien allemand toujours vivant ». Cantor mourra en 1918.
Ce qu’il faut en faire, et ne pas en faire. Il y a là de quoi tenir une heure passionnante en troisième — mais l’argument de Cantor sur les réels, lui, n’est pas donné dans le livre, seulement annoncé. Whitehead s’arrête exactement là où il faut s’arrêter avec des élèves : on peut montrer le rangement des fractions, on ne peut qu’annoncer qu’il échoue pour les réels. Reprendre la démonstration de Cantor sans l’outillage, c’est la transformer en tour de magie ; l’annoncer honnêtement, c’est laisser une porte ouverte.
Le détail d’époque
Whitehead fait remonter les fractions au plus ancien traité d’arithmétique connu, celui d’un prêtre égyptien nommé Ahmès, « écrit entre 1700 et 1100 avant notre ère, et probablement copié d’un ouvrage bien plus ancien ». Sa remarque vaut d’être reprise telle quelle devant une classe : « le sujet est très évident. Partager un champ en trois parts égales et en prendre deux devait être une opération courante. » Les fractions ne sont pas nées d’un caprice de mathématicien, elles sont nées d’un partage de terrain — et elles ont plus de trois mille ans.
Il note aussi que les Grecs pensaient tout cela en termes de rapport : « un Grec dirait naturellement qu’une ligne de deux pieds est à une ligne de trois pieds dans le rapport de 2 à 3 », là où nous disons que l’une vaut les deux tiers de l’autre, « en pensant à deux tiers comme à un multiplicateur numérique ». C’est très exactement le va-et-vient que nous demandons en quatrième entre proportion et fraction-opérateur, et il a deux mille ans.
Ce que ça change, concrètement
La question des cinq minutes. « Quel est le nombre qui suit \frac{2}{3} ? » n’a pas de réponse, et c’est toute la leçon. Posée après un chapitre sur les fractions, elle vaut mieux qu’un exercice de comparaison de plus : l’élève découvre par lui-même que la question est mal posée, ce qui est une expérience mathématique authentique.
Puis le trou. Quand arrivent les racines carrées, l’élève a appris que \sqrt{2} est « un nombre qu’on ne peut pas écrire en fraction » — formule exacte et parfaitement inerte tant qu’on n’a pas vu ce qu’elle répare. La quasi-lacune de Whitehead donne la scène : on coupe la droite des fractions en deux, d’un côté les carrés plus petits que 2, de l’autre les plus grands, et personne ne tient la frontière.
Et pour ceux qui en redemandent. Le rangement des fractions par indice se fait au tableau en dix minutes, avec les mains, et il mène tout droit à la séquence de math-philo sur les infinis de Cantor. C’est le genre de moment où trois élèves d’une classe comprennent qu’il se passe quelque chose de sérieux dans cette matière.
À vous
- avez-vous déjà fait chercher « le nombre juste après \frac{2}{3} » ? Les réponses des élèves valent la peine d’être collectionnées.
- à quel moment dites-vous à une classe qu’il manque des nombres sur la droite graduée ? Avant les racines, pendant, jamais ?
- et la question de méthode : jusqu’où aller sur Cantor au collège ? Whitehead annonce sans démontrer, et je le trouve très sage.
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Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont le calcul est sûr, le résultat ne l’est pas et l’inconnue n’est pas la variable. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre VI, « Generalizations of Number », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library). Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes, et les fractions ont été relues sur le fac-similé, l’extraction automatique les met à plat. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).