Tout professeur de cinquième connaît la question, et elle est excellente : pourquoi le même signe pour soustraire et pour marquer un nombre négatif ? Whitehead y répond en 1911, et sa réponse commence par une affirmation qui va à rebours de ce que dit le cours : -3 n’est pas un nombre.
Les nombres positifs et négatifs sont des opérations. On les a aussi appelés des pas. Ainsi +3 est le pas par lequel on va de 2 à 5, et -3 le pas en arrière par lequel on va de 5 à 2.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Et le nombre, alors ? Il arrive après : « nous pouvons considérer le point atteint par un pas depuis O comme le représentant de ce pas ». Le point A représente +1, le point B' représente -2. D’où le gain, qu’il fait voir d’un coup d’œil : avec les nombres sans signe, seuls les points d’un côté de l’origine servaient à quelque chose ; avec les pas, toute la droite se met à porter des nombres.
Pourquoi il a fallu en passer par là
La démonstration de nécessité est limpide, et elle tient en deux équations. x + 1 = 3 : pas de difficulté, x est un nombre, c’est 2. Mais x + 3 = 1 ?
Si x est un simple nombre, l’équation x + 3 = 1 est un non-sens. Car x devrait être le nombre de choses qui restent lorsqu’on a retiré 3 choses d’une chose ; et une telle opération n’est pas possible.
On pourrait s’en accommoder : traiter x + a = b en exigeant que b soit plus grand que a. Whitehead montre le prix de ce petit arrangement : « nous avons introduit une limitation sur la variabilité des “constantes” a et b, que nous devrons traîner comme une chaîne à travers tous nos raisonnements. […] Chaque équation finirait ensevelie sous un tas de restrictions. » Alors qu’en lisant les symboles comme des opérations, « toute limitation s’évanouit comme par magie » : x + 3 = 1 donne x = -2, et x + a = b donne x = b - a sans qu’on ait jamais à décider si c’est une addition ou une soustraction.
Et là se trouve la réponse à la question de la cinquième. Si le signe est le même, c’est parce que — et c’est une règle générale du métier, énoncée en passant :
Les mathématiciens ont l’habitude, déroutante pour qui cherche à démêler les significations mais très commode en pratique, d’employer le même symbole en des sens différents quoique apparentés. La seule exigence essentielle pour un symbole, à leurs yeux, est que, quelles que soient ses variétés de sens possibles, les lois formelles de son usage soient toujours les mêmes.
Ce qu’on lit aujourd’hui
Le mot qui commande tout, et qu’on ne dit jamais en classe. Pourquoi se donner tant de mal ? « La réponse est que ce que le mathématicien cherche, c’est la Généralité. […] Toute limitation quelle qu’elle soit, sur la généralité des théorèmes, des démonstrations ou des interprétations, est odieuse à l’instinct mathématique. » Il en fait même une triade : « la variable, la forme et la généralité composent une sorte de trinité mathématique qui préside à toute la discipline ». Nos élèves entendent « on étend aux négatifs » comme on annonce un nouveau chapitre ; personne ne leur dit que l’extension a un motif, et que ce motif est de ne plus jamais avoir à vérifier si l’on a le droit.
Et une anecdote à vérifier avant de la servir — je l’ai vérifiée. Whitehead raconte que ce sont les praticiens, et non les savants, qui ont inventé nos deux signes : « il semble très probable qu’ils viennent des marques tracées à la craie sur les caisses de marchandises dans les entrepôts allemands, pour indiquer l’excès ou le défaut par rapport à un poids étalon ». Vérification faite, il a raison et c’est même mieux que ça : le livre de Leipzig, 1489, est l’arithmétique marchande de Johannes Widmann, et les deux signes n’y désignent ni l’addition ni la soustraction mais bien l’excédent et le déficit dans des problèmes de commerce. Il faut attendre Michael Stifel, à Nuremberg en 1544, pour un usage proprement mathématique — et des manuscrits de 1481, que Widmann avait annotés, portent déjà les signes. L’histoire est belle, elle est exacte, et elle se raconte en deux minutes devant une classe : nos deux signes sont des marques de comptable. Suit une plaisanterie de 1911 sur les Allemands et les nuages, qu’on peut laisser où elle est.
Le pas, le vecteur, et la suite du programme
Whitehead ajoute une phrase qui, pour un professeur de collège, vaut une progression entière : « ces nombres “signés” sont aussi des cas particuliers de ce qu’on a appelé des vecteurs (du latin veho, je tire ou je porte). Car nous pouvons penser à une particule portée de O à A, ou de A à B. »
Autrement dit : le pas de la cinquième et la flèche de la quatrième sont le même objet, à une dimension près. L’élève qui a vu -3 comme un déplacement sur la droite graduée est déjà, sans le savoir, en train de faire de la translation. Le dire en une phrase au moment du chapitre sur les translations coûte dix secondes et referme un cycle commencé deux ans plus tôt.
Ce que ça change, concrètement
Dire le pas avant de dire le nombre. C’est déjà, en pratique, ce que fait la droite graduée de nos leçons sur les relatifs — mais l’ordre des mots compte : « -3, c’est reculer de trois » précède « -3 est un nombre ». Whitehead ne dit pas autre chose, et il explique pourquoi cet ordre-là n’est pas une commodité de présentation : c’est l’ordre dans lequel l’objet a été inventé.
Et assumer que la soustraction disparaît. Le point le plus dur du chapitre de cinquième, c’est que 5 - 3 et 5 + (-3) sont la même chose — ce que les élèves vivent comme une complication gratuite. Dans le cadre de Whitehead, ce n’est pas une règle de plus : c’est tout l’intérêt de l’opération. On n’a plus deux calculs à distinguer, on en a un seul. Les séries de questions flash sur la soustraction des relatifs ne servent qu’à rendre ce passage automatique — et la phrase qui les justifie, c’est « on n’aura plus jamais besoin de décider ».
À vous
- que répondez-vous à « pourquoi le même signe » ? Whitehead propose : parce que les lois de son emploi sont les mêmes, et que c’est la seule chose qu’on demande à un symbole.
- dites-vous le mot « généralité » à vos classes ? Moi, rarement, et je crois que c’est une erreur.
- et la question ouverte : présenter -3 comme une opération plutôt que comme un nombre, est-ce que ça aide vraiment un élève de cinquième, ou est-ce que ça rajoute une couche d’abstraction ?
Les commentaires sont ouverts, et sur la dernière je n’ai pas d’avis tranché.
Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont le trou dans les fractions et le calcul est sûr, le résultat ne l’est pas. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre VI, « Generalizations of Number », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library) — seconde moitié du chapitre, dont la première a fourni l’épisode sur les fractions. Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).