Changement de livre, et changement de sujet. Après les conférences de pédagogie, voici Whitehead qui parle de mathématiques — en 1911, dans un petit volume de vulgarisation à bon marché destiné aux adultes qui ont quitté l’école. Le coauteur des Principia Mathematica écrivant pour tout le monde : le résultat est un des livres les plus clairs jamais écrits sur la question, et il commence par cette phrase : « L’étude des mathématiques commence volontiers dans la déception. »
Son chapitre sur le symbolisme contient la phrase la plus citée de toute son œuvre. C’est aussi la plus scandaleuse pour quiconque a déjà écrit « réfléchis à ce que tu fais » dans une marge.
C’est un truisme profondément erroné, répété par tous les manuels et par les gens éminents lorsqu’ils font des discours, qu’il faudrait cultiver l’habitude de penser à ce que l’on fait. C’est précisément le contraire qui est vrai. La civilisation progresse en étendant le nombre d’opérations importantes que nous pouvons effectuer sans y penser. Les opérations de pensée sont comme les charges de cavalerie dans une bataille : elles sont en nombre strictement limité, elles exigent des chevaux frais, et ne doivent être lancées qu’aux moments décisifs.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Pourquoi la division posée vous paraît facile
Ce n’est pas une provocation gratuite : Whitehead vient de passer deux pages sur la numération arabe, arrivée en Europe par les Arabes qui la tenaient de l’Inde. Son propos est que la notation ne décrit pas seulement les nombres, elle change ce dont l’esprit est capable.
En déchargeant le cerveau de tout travail inutile, une bonne notation le rend libre de se concentrer sur des problèmes plus avancés, et augmente en fait la puissance mentale de l’espèce. Avant l’introduction de la notation arabe, la multiplication était difficile, et la division, même celle des entiers, faisait appel aux plus hautes facultés mathématiques. Rien, probablement, dans le monde moderne n’aurait davantage étonné un mathématicien grec que d’apprendre que, sous l’effet de l’instruction obligatoire, une large part de la population de l’Europe occidentale sait effectuer la division des plus grands nombres. Le fait lui aurait semblé une pure impossibilité.
À faire circuler dans une classe de sixième qui trouve la division posée pénible : ce que vous peinez à poser aurait paru hors de portée de l’humanité à quelqu’un qui, par ailleurs, savait construire le Parthénon. La difficulté n’était pas dans les têtes, elle était dans les chiffres romains.
D’où sa réponse à la plainte universelle sur les symboles : « Rien, bien sûr, n’est plus incompréhensible qu’un symbolisme qu’on ne comprend pas. » Mais c’est un fait sur nous, pas sur lui : « ils ont invariablement été introduits pour rendre les choses faciles ».
Ce qu’on lit aujourd’hui
La phrase est presque toujours citée à moitié, et la moitié qu’on coupe est celle qui compte. On la brandit pour justifier l’entraînement mécanique, comme si Whitehead disait que penser ne sert à rien. Il dit exactement l’inverse : les opérations de pensée « ne doivent être lancées qu’aux moments décisifs ». La charge de cavalerie, dans sa métaphore, a bien lieu — c’est même elle qui décide de la bataille ; on ne la gaspille pas à franchir un fossé qu’un pont suffirait à traverser. Automatiser n’est pas renoncer à penser, c’est choisir où penser. Le corollaire est déplaisant : un automatisme qui ne libère rien — parce que la notion ne resservira jamais dans un problème — est un coût sans contrepartie. La question n’est pas « combien d’automatismes ? » mais « pour quelle charge ? ».
Un mot sur un mot. « Augmente la puissance mentale de the race » : en anglais de 1911, the race désigne le genre humain — l’espèce, pas une race. Whitehead dit que la numération arabe a rendu l’humanité entière plus puissante, ce qui est d’ailleurs son argument. Je le signale parce que la lecture moderne du mot est immédiate et qu’elle ferait contresens.
L’exercice qu’il propose, à faire faire lundi
Whitehead lance un défi au lecteur qui douterait de l’utilité des symboles : écrire en toutes lettres, sans le moindre symbole, le sens complet de ces égalités — qui sont exactement les propriétés au programme du cycle 4.
- x + y = y + x et (x + y) + z = x + (y + z) — commutativité et associativité de l’addition
- x \times y = y \times x et (x \times y) \times z = x \times (y \times z) — les mêmes pour la multiplication
- x \times (y + z) = (x \times y) + (x \times z) — la distributivité
Il donne lui-même la première : « Si un second nombre est ajouté à un nombre donné quelconque, le résultat est le même que si le premier nombre donné avait été ajouté au second. » Faites écrire la distributivité en français, et la classe comprendra en dix minutes ce que trois ans de calcul littéral peinent parfois à installer. Sa conclusion : « grâce au symbolisme, nous pouvons opérer des transitions dans le raisonnement presque mécaniquement, par l’œil, là où il faudrait sinon mobiliser les facultés supérieures du cerveau ».
Et il désamorce au passage l’erreur la plus tenace du collège. Pourquoi écrit-on xy pour x \times y ? Parce que juxtaposer est la façon la plus concise de rapprocher deux symboles, et qu’une bonne notation réserve la juxtaposition à l’idée importante. Mais, prévient-il, « il faut prendre garde de rétablir le signe × en substituant des nombres, pour ne pas entrer en conflit avec la notation arabe : en remplaçant x par 2 et y par 3 dans xy, on doit écrire 2 × 3, et non 23, qui signifie 20 + 3 ». Cette phrase a cent quinze ans et elle décrit une copie que vous corrigerez cette semaine.
Le plus civilisé de tous les nombres
Le chapitre finit sur zéro, et sur une remarque que je n’avais jamais vue formulée ainsi : « Ce qu’il y a avec zéro, c’est que nous n’avons pas besoin de nous en servir dans les opérations de la vie quotidienne. Personne ne sort acheter zéro poisson. C’est en un sens le plus civilisé de tous les cardinaux, et son usage ne nous est imposé que par les besoins des modes de pensée cultivés. »
Suit l’explication la plus économique de la numération de position que je connaisse. Pour écrire cinquante-et-un, le 1 « pousse » le 5 vers la deuxième place et lui donne la valeur cinquante. Pour écrire cinquante tout seul, il faut un chiffre qui n’ajoute rien et qui pousse quand même : c’est zéro. Et Whitehead ajoute l’essentiel — « il est extrêmement probable que les hommes qui ont introduit ce signe n’avaient aucune conception définie du nombre zéro. Ils voulaient simplement une marque ». L’idée est venue après le symbole, pas avant.
Ce que ça change, concrètement
Dire à quoi sert l’automatisme, et pas seulement l’exiger. « Pour que ta tête soit libre quand le problème deviendra difficile » n’est pas la même phrase que « parce que c’est au programme », et c’est la seule des deux qui soit vraie. Les séries de calcul mental de ce site ne servent à rien d’autre qu’à garder les chevaux frais.
Traduire les règles en français, une fois. L’exercice de Whitehead se glisse en début de chapitre sur le calcul littéral : écrire la distributivité en toutes lettres, constater la longueur du résultat, puis revenir à la formule. Ce qui paraissait un jargon devient une abréviation — et une abréviation, ça ne s’apprend pas, ça s’adopte.
Et raconter le zéro. Il y a dans ce chapitre de quoi tenir dix minutes en sixième, au moment où l’on travaille les entiers et leur écriture : les Romains n’avaient pas de zéro, personne n’achète zéro poisson, et le signe est arrivé avant l’idée. C’est de l’histoire des mathématiques qui ne coûte pas une séance.
À vous
- vos automatismes libèrent-ils quelque chose, et quoi ? La question de Whitehead n’est pas leur nombre, c’est la charge qu’ils préparent.
- avez-vous déjà fait écrire une formule en toutes lettres ? Si oui, je veux bien savoir ce que ça a donné.
- et la question qui pique : combien de nos exigences de notation servent la pensée de l’élève, et combien servent la lisibilité de notre correction ?
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Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre V, « The Symbolism of Mathematics », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library). Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).